MURAIS DE FUNÇÕES E SÍNTESE DE REDES

O estudo da síntese de filtros passivos é essencial para o projeto de circuitos que garantem a filtragem eficiente de sinais em diversas aplicações, como telecomunicações, sistemas de áudio, eletrônica embarcada e processamento de sinais. Sua importância reside na capacidade de selecionar, atenuar ou amplificar determinadas faixas de frequência, assegurando a integridade e o desempenho dos sistemas eletrônicos. A abrangência desse campo inclui a análise e aplicação de aproximações de funções de filtro, como Butterworth, Chebyshev e Bessel, a síntese de funções de atenuação para atender a requisitos específicos de resposta em frequência, a síntese da função de transferência para modelar o comportamento do filtro e a implementação de realizações passivas utilizando componentes como resistores, indutores e capacitores. As competências associadas envolvem conhecimento aprofundado em teoria de circuitos, análise de redes elétricas, modelagem matemática de sistemas dinâmicos, técnicas de otimização e habilidades práticas no uso de ferramentas computacionais para simulação e projeto, permitindo a criação de filtros eficientes e adequados a diferentes exigências tecnológicas.

MURAL 1 - Funções de rede

Aproximações de funções de filtros: via diagrama de Bode, Butterworth, Chebyshev, Elíptica e de Bessel

Propriedades das funções de rede: polos e zeros, respostas natural e forçada, análise de estabilidade e resposta senoidal permanente

Aplicação da transformação de frequências na aproximação de funções de filtros passa-altas (PA), passa-faixa (PF) e rejeita-faixa (RF)

MURAL 2 - Síntese de funções de acesso

Síntese de impedâncias LC via Foster

Síntese de impedâncias LC via Cauer

Síntese de impedâncias RC via Foster

Síntese de impedâncias RC via Cauer

MURAL 3 - Síntese de funções de transferência

Síntese de função de transferência LC via equivalente de Thevenin

Síntese de função de transferência LC via parâmetros de quadripolos

Síntese de função de transferência de redes ladder RC

MURAL 4 - Realizações passivas de filtros

Implementação de filtros passa-baixa

Implementação de filtros passa-alta

Implementação de filtros passa-faixa e rejeita-faixa

Síntese de redes LC de terminação dupla para aproximações de Butterworth

Síntese de redes LC de terminação dupla para aproximações de Chebyshev

MURAL 1 - Funções de rede

Aproximações de funções de filtros: via diagrama de Bode, Butterworth, Chebyshev, Elíptica e de Bessel

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Propriedades das funções de rede: polos e zeros, respostas natural e forçada, análise de estabilidade e resposta senoidal permanente

Aplicação da transformação de frequências na aproximação de funções de filtros passa-altas (PA), passa-faixa (PF) e rejeita-faixa (RF)

Aplicação-exemplo 1: aproximação da função de um filtro passa-altas

Aplicação-exemplo 2: aproximação da função de um filtro passa-faixa

MURAL 2 - Síntese de funções de acesso

Síntese de impedâncias LC via Foster

Síntese de impedâncias LC via Foster I

Síntese de impedâncias LC via Foster II

Síntese de impedâncias LC via Cauer

Síntese de impedâncias RC via Foster

Síntese de impedâncias RC via Foster I

Síntese de impedâncias RC via Foster II

Síntese de impedâncias RC via Cauer

Síntese de impedâncias RC via Cauer I

Síntese de impedâncias RC via Cauer II

MURAL 3 - Síntese de funções de transferência

Síntese de função de transferência LC via equivalente de Thevenin

Metodologia para a definição da rede LC a ser sintetizada via Foster I (expansão em frações parciais)

Perfil típico dos termos LC da rede

Ajuste nos valores dos componentes da rede LC ao considerar RS ou RL

Cálculo do ganho (H) da rede resultante via comparação de T(s) com o circuito sintetizado, avaliando o comportamento de ambos no infinito

Aplicação-exemplo

Expansão em frações parciais via Foster I

Rede LC e ajuste dos valores dos componentes

Circuito resultante

Determinação do ganho (H) do circuito

Síntese de função de transferência LC via parâmetros de quadripolos

Este método aplica-se a uma rede LC terminada em uma carga YL

A aplicação deste método restringe-se a funções de transferência com zeros no infinito e/ou na origem. O método não pode ser aplicado, por exemplo, nos casos em que Y21 tem zeros finitos no eixo imaginário. Para tanto, pode-se adotar a técnica chamada de deslocamento de zero.

Fórmulas de síntese (na aplicação-exemplo optou-se por utilizar Y22)

Validação da rede sintetizada

Obtenção de Y/X (Vo/Vi)

Conferindo os coeficientes de s...

H = DR = 3/2 (fator de escala)

sˆ4 -> ABCD = L1*C1*L2*C2 = 1

sˆ3 -> BCDR = C1*L2*C2*R = 3

sˆ2 -> AB+AD+CD = L1*C1+L1*C2+L2*C2 = 3

sˆ1 -> BR+DR = C1*R+C2*R = 3

A validação confirma que o circuito obtido sintetiza a função dada (todos os polos e zeros), porém com um determinado fator de escala (H), inicialmente não previsto em T(s). Na aplicação-exemplo: H= 3/2.

Síntese de função de transferência de redes ladder RC

APLICAÇÃO-EXEMPLO

Vo / Vi = H * s^2 / [(s + 1)(s + 3)]

A impedância que precisa ser sintetizada deve ser obtida da seguinte forma:

1) O termo sˆ2 é substituído por (s + ap1)(s + ap2) para manter o número de zeros;

2) Inverte-se os polos e zeros da FT e a impedância deve ter a forma (s + 1)(s + 3)/((s + ap1)(s + ap2));

3) Como, em uma impedância RC, os polos e zeros devem ser intercalados escolhe-se ap1=0 e ap2=2 para simplificar o cálculo;

4) Arbitra-se H=1 para simplificar também;

5) A impedância, depois de todos esses passos, fica:

Zi=(s + 1)(s + 3)/[s(s + 2)]

Aplicando-se o método de Cauer II (capacitores nos ramos em série), a impedância a ser sintezidada é:

Zi = (3 + 4s + sˆ2) / (2s + sˆ2)

A expansão em frações continuadas resulta nos seguintes componentes:

Zi = 1 / (s * C1) + 1 / [1/R1 + 1 / [1/(s * C2) + R2] ]

Os valores dos elementos são:

C1 = 2/3 F; R1 = 5/4 ohms; C2 = 2/25 F e R2 = 5 ohms.

Determinação de H:

1- Avalia-se o circuito para Vo / Vi | s-->oo = 1;

2- Avalia-se a função para Vo / Vi | s-->oo = H;

3- Igualam-se os termos, resultando em H = 1.

MURAL 4 - Realizações passivas de filtros

Implementação de filtros passa-baixa

Implementação de filtros passa-alta

Implementação de filtros passa-faixa e rejeita-faixa

Na sequência podemos utilizar as fórmulas a seguir para converter o tipo de filtro para passa-faixa.

Essa conversão vai resultar em uma rede passa-faixa já com frequência central "w0" e largura de faixa "B". Por esse motivo, não é necessário aplicar o fator de escala de frequência, o qual pode ser considerado unitário (KF = 1).

Resta somente aplicar o fator de magnitude: KM = RL / RL` = 300 / 1 = 300.

RL = 300 ohms

C3 = C3' * 1 / (KM * KF) = 4.5*10ˆ-4/(300*1) ~ 1.5 × 10^-6 F

L3 = L3' * KM = 9.65*10ˆ-4 * 300 / 1 ~ 0.2895 H

L4 = L4' * KM = 1.27*10ˆ-3 * 300 / 1 ~ 0.3810 H

C4 = C4' * 1 / (KM * KF) = 3.41*10ˆ-4/(300*1) ~ 1.1 × 10^-6 F

C5 = C5' * 1 / (KM * KF) = 1.85*10ˆ-3/(300*1) ~ 6.2 × 10^-6 F

L5 = L5' * KM = 2.34*10ˆ-4 * 300 / 1 ~ 0.0702 H

L6 = L6' * KM = 1.8*10ˆ-3 * 300 / 1 ~ 0.5400 H

C6 = C6' * 1 / (KM * KF) = 2.41*10ˆ-4/(300*1) ~ 0.8 × 10^-6 F

Procedimento similar pode ser adotado na síntese de um filtro rejeita-faixa. Neste caso, as fórmulas de conversão a serem adotadas estão indicadas a seguir.

Síntese de redes LC de terminação dupla para aproximações de Butterworth

No projeto de sistemas de comunicações, pode ser necessário sintetizar uma rede de acoplamento que transforma uma dada impedância de carga dependente da frequência em uma outra impedância. A rede resultante é denominada EQUALIZADOR. As aproximações de Butterworth e Chebyshev são normalmente utilizadas para esta finalidade.

Síntese de redes LC de terminação dupla para aproximações de Chebyshev

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